The Clowder Project

In detail, the category of pointed sets is the category $\mathsf{Sets}_{*}$ where:

• •

  Objects. The objects of $\mathsf{Sets}_{*}$ are pointed sets.

• •

  Morphisms. The morphisms of $\mathsf{Sets}_{*}$ are morphisms of pointed sets.

• •

  Identities. For each $\webleft (X,x_{0}\webright )\in \operatorname {\mathrm{Obj}}\webleft (\mathsf{Sets}_{*}\webright )$, the unit map

  \[ \mathbb {1}^{\mathsf{Sets}_{*}}_{\webleft (X,x_{0}\webright )} \colon \mathrm{pt}\to \mathsf{Sets}_{*}\webleft (\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (X,x_{0}\webright )\webright ) \]

  of $\mathsf{Sets}_{*}$ at $\webleft (X,x_{0}\webright )$ is defined by¹

  \[ \operatorname {\mathrm{id}}^{\mathsf{Sets}_{*}}_{\webleft (X,x_{0}\webright )} \mathrel {\smash {\overset {\mathclap {\scriptscriptstyle \text{def}}}=}}\operatorname {\mathrm{id}}_{X}. \]
• •

  Composition. For each $\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (Y,y_{0}\webright ),\webleft (Z,z_{0}\webright )\in \operatorname {\mathrm{Obj}}\webleft (\mathsf{Sets}_{*}\webright )$, the composition map

  \[ \circ ^{\mathsf{Sets}_{*}}_{\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (Y,y_{0}\webright ),\webleft (Z,z_{0}\webright )} \colon \mathsf{Sets}_{*}\webleft (\webleft (Y,y_{0}\webright ),\webleft (Z,z_{0}\webright )\webright ) \times \mathsf{Sets}_{*}\webleft (\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (Y,y_{0}\webright )\webright ) \to \mathsf{Sets}_{*}\webleft (\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (Z,z_{0}\webright )\webright ) \]
  of $\mathsf{Sets}_{*}$ at $\webleft (\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (Y,y_{0}\webright ),\webleft (Z,z_{0}\webright )\webright )$ is defined by²
  \[ g\mathbin {{\circ }^{\mathsf{Sets}_{*}}_{\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (Y,y_{0}\webright ),\webleft (Z,z_{0}\webright )}}f \mathrel {\smash {\overset {\mathclap {\scriptscriptstyle \text{def}}}=}}g\circ f. \]